如果我们把前一百年也数上，看一看现代以前两百年的情形，我们也许会认为数学是在17世纪的最后25年间奠定基础的。发现基本要素的时期可以说是从毕达哥拉斯起一直到笛卡儿、牛顿和莱布尼兹这个时期，但发展成熟的科学则是在最近250年才出现的。这并不是在夸耀近代天才的高超，因为发现基本要素本来比发展科学要困难得多。
在19世纪的整个时期中，数学的影响在于它对动力学和物理学的影响，然后又发展到工程和化学。数学通过这些科学对人生的影响之大是难以估量的。但它对当时的一般思想却没有直接的影响。
上面是数学在全部欧洲历史中的影响的简述，回想一下这一简述就能看出数学曾在两个伟大时代对一般思想发生的直接影响。这两个时代全部大约延续了200年之久。第一个93时代是从毕达哥拉斯到柏拉图的时期，那时创立数学的可能性和数学的一般性质破天荒第一次在希腊思想家心中萌芽了。第二个时代包括现代的17、18两个世纪。这两个时代具有某些共同点。在前后两个时代中，与人类有关的许多领域里的一般思想范畴都瓦解了。在毕达哥拉斯时代，一般人不知不觉地接受的异教文化具有美妙的仪式和魔术的法事作为传统的外衣；那时异教文明在两方面影响下进入了一个新的阶段。一方面有许多宗教热忱的浪潮，在为奥妙的事物寻求直接的启示。但在另一个极端上却产生了一种批判的分析思想，以冷静的头脑探究事物的终极意义。这两种影响的结果虽然完全是背道而驰的，但却有一个共同的因素，也就是唤醒了一股好奇心，和一股重建传统方式的运动。这种异教的神秘可以比之于后一时期清教徒和天主教的反作用。在两个世纪中批判的科学思想除了实际意义上略有区别而外，其他的方面是相同的。
两个时代的早期都是繁荣景象兴起，新的前景蓬勃展开的时期，在这一点上和公元第二、三世纪基督教征服罗马帝国世界那种衰落的时代不同。唯有在幸运的时代里，一方面能摆脱环境的压迫，另一方面又具有强烈的好奇心，时代精神才能重新评价那些隐藏在实际概念后面的极终抽象概念。
一个时代的严肃思维就是从这些实际概念出发的。唯有在难逢的世纪中才能完成这种事情，从而使数学和哲学发生关系。
因为数学是人类头脑所能达到的最完美的抽象境界。
这两个时代的类似之处也不能说得太过火。现代世界比古代地中海沿岸的世界更大而且更复杂。甚至和遣送哥伦布04第二章
作为思想史要素之一的数学与开辟美州的清教徒渡过大西洋的欧洲比起来也是如此。我们这个时代已经无法用一个盛行一时然后又搁置上千年的简单公式来解释了。因此，从卢梭以来，数学思维的暂时沉寂状态似乎已近尾声了。我们已经进入一个宗教、科学与政治思想的改造时代。这样的时代如果不愿单纯懵懵懂懂地在两极端之间摇摆的话，就必须在事物的极终深处寻求真理。但除非有充分说明这种极终的抽象思维的哲学，并以数学来说明各思维之间的关系，否则这种深奥的真理是无法洞察的。
为了确切地说明数学在现代的普遍重要性正在怎样地增长，我们不妨从科学上的某一个令人迷惑莫解的事实出发，看看我们在试图解决其中的困难时，必然会被引导到什么样的观念上去。目前物理学正在量子论上感到为难。如果读者有人还不清楚这理论究竟是什么的话，我在这儿暂不多谈(1)。
主要是说明这理论中最有希望的解释是，先假定电子不是连续地渡过其空间中的道路。有一个不同于现行看法的观念认为电子存在的方式是通过一系列的期间所组成的时间占据一段空间，而且在这一段空间中只在一系列不连续的位置上出现。
正好像是一部平均时速30英哩的汽车不连续地通过这条道路，而只递次在一系列的里程碑上出现，并在每块里程碑上停留两分钟。
首先，这观念须要将数学作纯技术的应用，看看这概念是不是真正能解释量子论中许多令人迷惑莫解的性质。如果经过这样的测验这观念还能存留下来，物理学无疑是会采用(1)参看本书第8章原注。
14它的。就以上所谈的一切说来，这问题纯粹是要在数学和物理科学之间根据数学的计算和物理的观察来加以解决的问题。
但目前这一问题已经转交给哲学家了。象这样，我们就认定电子在空间中具有一种不连续的存在，这和我们通常假定物质显然具有的连续存在是很不相象的。电子似乎把一般所谓西藏红教喇嘛的道行借来了。现在一般认为这种电子加上相应的质子就构成日常生活中的物体的基本实念。这样说来，如果上述解释被采用的话，我们关于物质存在的终极性质的概念就必须全部重新考虑。因为当我们深入这种终极实有时，空间存在的令人惊讶的不连续性就显示出来了。
解释这个表面上的矛盾是不困难的，只要我们同意把目前在声和光两种现象上一般所接受的原则应用到表面稳定而不分化的物质持续状态上去就行。一个持续发音的音符被解释成为空气振动的结果，一种稳定的色彩被解释成为以太振动的结果。
要是用同样的原则来解释物质的稳定持续状态，我们就会认识到每一种原始要素都是潜能或潜在活动所产生的振动波。如果我们所说的能始终是物理学上那种能，那么每一种基本要素便都成了一种有组织的振动能流系统。