太广泛的综合就会毫无结果。唯有用一种巧妙的特殊性来限制广泛的综合，才能成63为有效果的概念。例如任何连续函数的概念都引入了连续性有限制的概念，因而便是富于效果的概念，并且已经得到了许多极重要的应用。当时兴起的代数分析正好和笛卡儿发现解析几何以及牛顿与莱布尼兹发现微积分同时。诚然，毕达哥拉斯如果预先看到了他所创始的思绪的结果，一定会认为他的兄弟会和会里所热衷的神秘仪式是完全有理由的。
我现在要说明的一点是：函变数观念在数学的抽象领域中这样流行，反映在自然秩序中便是用数学表达出来的自然规律。要是没有这种数学的进步，17世纪的科学发展便是不可能的。
数学为科学家对自然的观察提供了想象力的背景。
伽利略、笛卡儿、惠根斯和牛顿等人都创造了许多公式。
如果要举一个特殊的例子来说明数学的抽象发展对当时科学的影响，那么不妨看看周期性这一概念吧。在我们的日常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。
日子、月相、一年的四季、心跳、呼吸等都重复出现，绕行的星球也重复回到自己的老位置上去。
我们在各方面都看到有重复现象发生。
没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性的重复现象，也不可能有度量。
当我们获得了这一“精确”
观念后，重复现象在我们的经验中便成了基本的东西。
在16、17世纪时，周期性的理论在科学中占了主要地位。
凯普勒发现了一条定律，可以把各种行星轨道的长轴和各行星循着自己的轨道环行时的周期联系起来；伽利略观察了摆的振动周期；牛顿认为声音是由稀密相间的周期性波动通过空气时所发生的扰动而形成的；惠根斯认为光线是由精微的73以太的横振动波而形成的。麦西尼把提琴弦的振动周期和它的密度、张力以及长度联系起来。现代物理的诞生必须依靠周期性的抽象概念在许多实例上的应用。但假若不是数学首先用抽象的方式把环绕着周期性这一概念的各种抽象观念全推演出来了，这事是不可能办到的。三角学刚兴起时是研究直角三角形两锐角跟勾股弦的比率之间的关系。接着，在数学中新发现的函数分析的影响下，又扩大为体现这种比率的纯粹抽象的周期函数的研究。因此三角便完全变成抽象的研究了，而且正是由于变成了抽象的研究，所以就有用处了。
它说明了各种完全不同的物理学现象中所潜存着的相同关系。
同时也提供了一种武器，使任何一套物理学现象都可以把自身的各种性状加以分析，然后连系起来(1)。
从以往的事实看来，数学往更极端的抽象思维的高超领域上升得愈高，日后再回到下面来时对具体事物的分析就愈加重要，这一点是再清楚不过了。
17世纪的科学史读来，仿佛是柏拉图和毕达哥拉斯一些历历如目前的梦境。从这方面说来，17世纪仅仅是后继者的开路先锋而已。
最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武器，这一个似非而是的说法现在已经完全肯定了。
由于17世纪时数学家盛极一时，18世纪的思想便也是数学性的，尤其是法国的影响占优势的地方更是如此。但英国从洛克开始的经验主义却是一个例外。在法国以外的国家里，牛顿对哲学(1)关于纯数学的性质与功用的详细情况可参看拙着“数学引论”一书，家庭大学丛书，伦敦威廉与诺格特书店版原注。
83的直接影响表现在康德身上最为明显，在休谟身上倒并不如此。
19世纪时，数学的一般影响减弱了。文学上的浪漫主义运动和哲学上的唯心主义运动都不是从数学家开始的。甚至在科学领域里的地质学、动物学和一般生物科学的发展都完全与数学无关。这一世纪科学上最惊人的成就便是达尔文的进化论。因此，按照这个世纪一般的思想状况说来，数学远远地退居到后面去了。这倒不是说数学被忽视了。甚至也不是说数学没有发生影响。
19世纪纯数学的进步几乎等于从毕达哥拉斯以来所有各世纪的总和。
当然，由于技术日趋完善，进步是比较快的。
我们纵使是承认这一点，但数学从1800到1900年这一段时期中的变化仍然是惊人的。