有些人以为，不言而喻，如果这些类之中没有一个是零，从每类中选择出一个来就一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点，皮亚诺说得最好：“这一个原则正确不正确呢？我们的意见是没有价值的。”我们对于我们所谓“乘法公理”所下的界说是：这是假定永远可能从一组若干类中的每一个（这些类没有一个是零）选出一个代表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证，因此我们把这一个公理明白地包括在应用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时，载尔美乐提出了他所说的“选择原理”，这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看做是一个自明的真理。因为我们并不采取这一个意见，我们尽力寻求一些方法来对付乘法而不假定这个公理是真的。
选择的逻辑学说无论在哪一点上都不依赖“数目”这个概念，在《数学原理》里我们是在给“数目”下界说之前提出来选择学说的。这种意思也可以用于另一个极其重要的概念，也就是，在普通语言里用“等等”这些字所表示C的那个概念。
假定你想用“父母”这个概念来说明“祖先”这个概念。
你可以说，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）亲，Ｂ是Ｃ的父（或母）亲，等等，并且这样在有限的多少步之后，你达到Ｙ这个人，他是Ｚ的父（或母）亲。这都没有问题，只是有一件，这里边包含“有限的”这几个字，这几个字不能不加以界说。只有用一个完全一般的概念的特殊应用，给“有限的”下定义才是可能的，就是，从任何既定的关系而来的祖先关系那个概念。这个祖先关系概念最初是弗雷格远在一八七九年发展出来的，但是直到怀特海和我发展出这个概念来的时候，弗雷格的工作一直没有为世人所注意。我们想加以界说的这个概念可以初步解释如下：如果ｘ对于ｙ具有Ｒ关系，我们姑且把ｘ到ｙ这一步称为“Ｒ步”。你可以从ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通过从ｘ开始的那些Ｒ步你所能达到的东西，我们都说成为关于Ｒ的ｘ的“后代”。我们不能说凡是通过一个“有限数目的Ｒ步”你所能达到的东西，因为我们还没有对于“有限”这个辞加以界说。我们只有借“后代”这个概念才能给它下一个界说。关于Ｒ的ｘ的后代可以界说如下：我们先给关于Ｒ的一个“世传的”类下一个界说。
这是有这样性质的一个类：凡是从这个类的一项通过一Ｒ步所达到的东西就又是这个类的一项。举例来说，“斯密”这个名称的性质是在父子关系中世传的，人性这种性质是在父母对子女的关系中世传的。“如果ｙ属于ｘ所属于的每个关于Ｒ的世传的类，ｙ就属于关于Ｒ的ｘ的后代”，我现在说明这是什么意思。现在让我们把这个应用于普通的整数，用一个数目对于它下面紧接着的那个数目的关系来代替Ｒ。如果我们现在看一看关于这一个数目的０的后代，显然１是属于这个后代，因为１＝０＋１；而且，因为１属于０的后代，２也是如此；而且，因为２是如此，３也就是如此。这样下去，我们就得到一整套都属于０的后代的数目。我们可以把用所谓“数学归纳法”的证明应用于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理：如果一个性质属于０，并且属于有这个性质的任何数目下面紧接着的那个数目，那么，这个性质就属于所有的有限数。把“有限”数说明为０的后代，这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原理，因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理，而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的，对于另一些数目来说它是不正确的。凡它能适用的数目就是有限数。举例来说，把１加到一个有限数上，这个有限数就增加了；一个无限数就不是这样。
整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由，我们在提出数的定义来以前就创立了这个学说。
现在我来讲一个东西，我名之为“关系算术”，这占了《数学原理》第二卷的后半本的篇幅。从数学的观点来看，这是我对于这部书最重要的贡献。我所说的“关系数”是一种完全新的数，普通数是这种数的一种极其特殊化的例子。我发现，一切能用于普通序数的那些形式定律都能用于这一种一般得多的数。我也发现，关系数对于了解结构是很要紧的。
有些辞（“结构”就是其中的一个），正如“等等”或者“系列”，虽然为人用得惯熟，却无确切的意义。借关系算术，“结构”这个概念就可以精确地加以界说。