但我们把40个那一堆数错的可能是常有的，所以实际上分的时候就可能有一堆多一个，另一堆少一个。
因此，当我们评述一种理论时，如果它的基础是把数学应用在特殊的实际事例上，我们心中便应当把以下三种过程完全记清楚。
首先我们必须细细地检查一下纯数学的推理，验明它没有漏洞，没有因为偶然疏忽而产生的不合逻辑的地方。
任何数学家都能从本身痛苦的经验中认识到，开始拟定一系列推理过程时很容易发生一点极微小的错误，后来却因此而差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能发生的。接着，第二个过程是，确实肯定一下，这个推论所预先假定的抽象条件是否可以成立。这就是把数学推论开始的抽象前提确定一下。这一过程是相当困难的。以往曾经发第二章
作为思想史要素之一的数学72生过极其显然的疏忽，而且这些竟被许多最伟大的数学家历代相沿地接受下来了。这里面最大的危险就是疏忽；也就是说，在不知不觉之间引入某些我们认为自然应当事先设定的条件，然而事实上这些条件却不一定都能成立。在这一方面还存在着一个相反的疏忽，这种疏忽倒不会造成错误，只是会使推理复杂化。也就是说，必要的假设条件很容易被估计得多于实际的要求。换句话说，我们可能认为某些抽象的假设是必要的，但实际上却可以从其他已有的假设上证明出来。
抽象的假设提得过多，唯一的效果就是使我们在数学推理中减少审美方面的乐趣，并且会给第三个评述过程造成麻烦。
第三个评述过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊事例中是否能成立。一切的麻烦都是从这个验证特殊事例的过程中产生的。
在数40个苹果这种简单的事例中，只要稍加留心就可以在实际上达到肯定的程度。但一般说来，在十分复杂的事例上就不可能达到完全肯定的程度。为这一问题而写的书籍简直是汗牛充栋。
但这是对立的哲学家交锋的战场。
这里面牵涉到两个不同的问题。一方面是我们已经观察到了某些确定的东西，同时我们又要确实弄明白这些东西之间的关系的确服从于某些固定的严格抽象条件。这儿发生错误的可能性就非常大了。
一切严格的科学观察法都只是一些措施，为的是减少这些关于直接事实的错误。但这儿又产生了另一个问题：被直接观察到的事物几乎永远只是一些例子。我们所要作的结论是：某些抽象条件如果在例证中能成立，那么在其他一切由于某种理由而被认为是属于同一类型的实有中也都能成立。
这种由例证而推论及全体的推理过程就叫归纳法。
82归纳法的理论是哲学上无法处理的东西，然而我们的一切行为又都以这种理论为基础。总而言之，当我们评述一件特殊实际事物的数学结论时，真正的困难在于找出被牵涉到的抽象假设，并对它能否适用于当前的特殊事例的证据加以估价。
因此，我们常常看到，在评述一部造诣极深的应用数学书籍或一篇论文时，一切的麻烦就在于第一章上，甚至于就在第一页上。因为正是在这个刚一开始的地方，作者很可能在假设上有失误。
同时，麻烦还不在于作者说了一些什么，而在于他没有说的是什么；不在于他明确了的假设，而在于他不知不觉地作出的假设。我们并不怀疑作者的诚实，这里所批评的是他自作聪明的地方。每一代人都批评上一代所作的非意识的假设。人们也可能同意这种假设，但却不能让它停留在非意识阶段，而要把它揭示出来。
语言发展史可以说明这一问题。这种历史是观念分析不断进展的历史。拉丁文和希腊文都是有字尾变化的语言。这就是说，他们表达一丛未加分析的观念时只要把字尾变一下格就行了。但拿英文来说，我们便要用前置词和助动词来表明整个的意义。把辅助的意义硬塞进主要的词句中去虽不见得对所有的文学体裁都方便，但对某些体裁却可能是一个方便。不过，就表达明了这一方面说来，英语这种语言却是高得不可比拟的。明了程度的加强就是把语句涵义中的复杂观念所牵涉的各种抽象概念更完整地表达出来。
拿语言的情形作了一个比较，就可以看出纯数学所达到的思想功能是什么。
这是完全走向完整的分析的有效步骤，这样做为的是把单纯的事物和这种事物所体现的纯抽象条件分92开来。
这种分析的习惯启发了人类脑筋的每一种功能。它首先通过分离的方法，强调从审美观点出发直接体察经验的内容。
这种直接体察是理解经验本身就其固有的特质（包括它的直接实际价值在内）说来，究竟是什么。这是属于直接经验方面的问题，必须依靠精微的感觉。然后便是把有关的特殊实有抽象化的问题，也就是把这些实有和它被了解时所处的特殊经验状况分离开来，从而理解它的本身。最后还要进一步理解这些经验中的实有之间的特殊关系所能满足的绝对普遍条件。这些条件之所以具有普遍性，是因为它们可以不涉及某种特殊经验中所发生的某些特殊关系或特殊状态，单靠本身就能表示出来。这些条件可以适用于牵涉其他实有和其他相互关系的无数事态。因此，这些条件是完全普遍的，因为它们不涉及任何特殊事态或在不同事态下存在的任何特殊实有（如绿、红、树等），也不牵涉这些实有之间的关系。