清代算学，顺康间仅消化西法，乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者，实自乾隆中叶后，而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由，则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓”会通以求超胜“，盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下。
一
明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《亦水遗珍》，载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，惟所以立法之原则秘而不宣。至汪考婴疑其数为偶合。静庵积思三十年，创为此法与解，用连比例术以半径为一率，设弧共分为二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率与三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。——虽至亿万率，胥如是。罗茗香评之曰：”西法之妙，莫捷于对数“；”对数之用，莫便于八线。——考对数之由来，亦起于连比例，又安知当日立八线表时，不暗用此法推算耶？“
二
孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子，研究秦李之书，精通天元。梅定九着《少广拾遗》，云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意，取幂积变为方根，使诸乘皆可作平方观，制诸乘方廉隅图，俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例，其说在明氏捷法未显之先，而间与暗合，所着书名《少广正负术内外篇》六卷
三
李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古九章，其所着《方程论》，囿有西学，致悖直除之旨，乃寻究古义，采索本根，变通简捷，以成新术，辨天元与借根之异同。梅玉汝言借根即天元，大致固不谬。四香更辨析天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减微异发明开方正负定律。梅氏言开方，专宗《同文算指》《西镜录》之西法，初不知立方以上无不带纵之方。故所着《少广拾遗》，立开一乘方以至开十二乘方法，枝枝节节，窒碍难通。四香读秦道古书，阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法，为《开方说》三卷
四
黎见山应南之求句股率捷法。见山，四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数，各自乘，相并为弦，相减为句，或为股；副以两数相乘倍之为股，或为句。若任设大小两奇数或偶数，各自乘，则相并半之为句，或为股，其两数相乘即为股，或为句，所得句股弦皆无零数
五
汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律，少广之学大明。孝婴读秦李书，知有不可知之数，乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异，故当时有汪李齮龁之谣，焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋，括为三例以证明之，谓偶实同名者不可知，偶实异名而从廉正负不杂者可知；偶实异名而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。又谓己所言”一答与不止一答“，与汪言之”可知不可知“，义实相通云
六
董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圜径求周术语焉不详，欲更创通法，使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创，与明氏同归而殊涂，盖以圜容十八觚之术，引申类长，求其累积，实兼差分之列衰，商功之堆垛，而会通以尽句股之变。自谓奇偶相生，出于自然，得此术而方圆之率通云
七
徐君青之发明屡乘屡除的对数。对数表传自西人，云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之，得数。巧合而省力百倍研究测圜密率，以屡乘屡除法，递求正负诸差，而加减相并，便得所求发明开圜求周术。椭圆求周，无法可驭。借平圜周求之，则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周，求其经以求周，即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初，取经纡徊，布算繁赜，不示人以简易之方，如八线对数表，至今无人知其立表之根，因读《四元玉鉴》，究心于垛积招差之法，推诸割圆诸术，无所不通。盖垛积者递加数也，招差者连比例也。合二术以施之割圜，六通四辟，而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之，简益求简，凡立五术
八
戴鄂士之发明对数简法。其术在舍开方而求假设数；复有续编，专明对数根之理。徐君青为之序，谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业发明外切密率。此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘，项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术，李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例，……以比例所得之率数乘除法，乘除弧背，其求得之数，必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术发明假数测圆。专以负算阐对数，发前人未发之蕴
九
邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，迳开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术，操数各殊，惟夏紫笙略近而更为精密云创造对数尺。因对数表而变通之为算器，画数以两尺相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数补古格术。格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始