一率半径
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半径
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弧
又设太阳当午正实行距秋分后三十度为十宫初度,乃以辛点太阳当午正,则申点秋分在午正后,而春分必在午正前,未为夏至,子乙未为过极至经圈,其子甲卯本时黄平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形,此形边角之度与前图之辛戊壬形同,惟申戊弧所变之一时五十一分三十七秒,乃秋分距午后之时分,是以加赤道半周之十二时,得十三时五十一分三十七秒,始为本时春分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形,此形边与角之度亦与前图之辛辰甲形同,惟因辰点在辛点之西,是以十宫初度内减辛辰弧二十三度四十八分四十秒,得九宫六度十一分二十秒,即本时黄平象限之经度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒,亦与前数相同也。由此则逐度皆以距春、秋分前后各相对之度推之,其求午正太阳距天顶之加减,则以纬南、纬北而分。求黄平象限宫度之加减,则以冬至、夏至为断。盖冬至过午西,黄平象限恒在午正之东,夏至过午西,黄平象限恒在午正之西,此加减所由定也。
今设太阳黄道经度三宫十六度四十四分,用时为戌正二刻八分十九秒,求春分距午时分及黄平象限宫度、限距地平高度。如申辛壬癸为黄道,交地平于寅,壬为春分,丑为夏至,申为秋分,子乙丑亥为过二极二至经圈。乃自黄极子点过天顶甲点作子甲卯黄道经圈,其黄道適中之辰点,乃在午正之西。今太阳在春分后之未点,当赤道之午点,自子正计之,即用时之时刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧,此形午为直角,有壬角黄赤交角二十三度二十九分,有壬未弧太阳距春分后黄道度十六度四十四分,求得壬午弧十五度二十四分五十八秒,为太阳距春分后赤道度。变时得一小时一分四十秒,与午点用时相加,得二十一小时三十九分五十九秒,为壬点春分距子正后之时分。
内减十二时,得九小时三十九分五十九秒,即壬戊弧本时春分距午时分。次用甲戊辛正弧三角形,因壬戊春分距午后之度已过象限,故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊为直角,有申角黄赤交角,有申戊弧秋分距午前时分所变之赤道度三十五度零十五秒,求得戊辛弧十三度五十九分四十秒,为本时正午之黄赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒,为黄道交子午圈角,即黄道赤经交角。与甲辛辰角为对角,其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒,为秋分距午正前黄道度。与申点秋分九宫相减,得七宫二十二度三十八分一十秒,即辛点正午黄道经度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧,此形辰为直角,有辛角黄道赤经交角。以甲戊弧京师赤道距天顶三十九度五十五分,内减辛戊正午黄赤距度,得甲辛弧二十五度五十五分二十秒,为本时正午黄道距天顶度,求得辛辰弧九度零五十三秒,为黄平象限距午西之黄道度。与辛点正午黄道经度相减,得辰点七宫十三度三十七分十七秒,即本时黄平象限之经度,并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒,为黄平象限距天顶之度。与甲卯象限相减,得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒,为本时黄平象限距地平之高度,即当辰寅卯角之度也。
求距限差
距限差者,乃月距黄平象限之差度也。盖旧法月距限以九十度为率,因黄道丽天,其向随时不同,而出于地平之上者,恒为半周,其適中之点,距地平东西皆九十度。故以九十度之限,以察月在地平之上下,若月距限逾九十度者,为在地平下,遂不入算,然此以黄道为立算之端也。顾白道与黄道斜交,月行白道,不无距黄道南北之纬度。纬南者早入迟出,月当地平时,其距黄平象限不及九十度;纬北者早出迟入,月当地平时,其距黄平象限已过九十度;是则九十度之率未足为据也。于是立法以求其差,犹五星伏见距日限度有距日加减差之义也。其法以限距地平之高及月距黄道之纬,依正弧三角形法求之。盖黄道之势,随天左旋,其升降正斜,时时不同。正升正降者,京师限距地高至七十三度馀,高度大,则月纬所当之距限差转小;斜升斜降者,京师限距地高只二十六度馀,高度小,则月纬所当之距限差转大。若值月纬最大,其差可至十度有奇,此距限差之不可不立也。故依京师黄平象限距地平高度,逐度求其太阴黄道实纬度所当距限差以立表。
设京师限距地平高度三十四度,太阴距黄道实纬度南北各五度,求距限差。如图甲为天顶,乙丙为地平,丁为黄极,甲丁乙丙为黄道经圈,戊己庚为黄道,交地平于己点,其戊点即黄平象限。戊丙为限距地高三十四度,与甲丁黄极距天顶之度等,而当戊己丙角与乙己庚角为对角,其度亦等。如月恰在正交或中交,合于黄道之己点,正当地平,则戊己为月距限九十度,若过九十度,自必在地平之下。今设月在黄道南五度,则辛壬癸为黄道距等圈,月在地平时为壬点,当于黄道之卯,其戊卯月距限乃不及九十度。又设月距黄道北五度,则子丑寅为黄道距等圈,月在地平时为丑点,当于黄道之辰,其戊辰月距限乃已过九十度,故必求其差数以加减之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧,此形有卯直角,有己角,当限距地高,有卯壬弧月距黄道纬度。
乃以己角之正切为一率,半径为二率,卯壬弧之正切为三率,求得四率,为距限差度之正弦,检表得七度四十二分,即己卯弧为所求之距限差,而与己辰弧之度分等,盖己辰丑正弧三角形与己卯壬形同用己角,而辰丑弧月距黄道纬度,亦与卯壬等是两正弧形为相等形,故所得之己卯弧必与己辰弧相等无疑矣。既得己卯距限差,与戊己九十度相减,得八十二度十八分,即戊卯距限,而与距等圈辛壬之度相应,为月在纬南之地平限度。以己辰距限差与戊己九十度相加,得九十七度四十二分,即戊辰距限,而与距等圈子丑之度相应,为月在纬北之地平限度也。
一率己角正切
二率半径
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
图形尚无资料
求黄经高弧交角及月距天顶
旧法推日食三差,原以黄平象限为本。自考成前编谓三差并生于太阴,而太阴之经纬度为白道经纬度,用白道较之用黄道为密,故求三差则按月距白平象限之度,以白道高弧交角及太阴高弧为据。后编变通其法,乃以白经高弧交角及日距天顶以求三差,而求白经高弧交角,系赤经高弧交角加减赤白二经交角而得,并不求月距白平象限之度,是法较前颇为省算。今推视差者,乃求其星月黄道同经之视距视时,故三差应由黄平象限而定也。是则其法原可仿于后编不求黄平象限而竟求黄经高弧交角之术,即黄道高弧交角之馀度。然非月距黄平象限度与地平限度相较,其月在地平之上下无由可知。故今求交角,乃先求得月距黄平象限之东西、黄平象限去地之高下、太阴距黄极之远近,然后按后编用斜弧形求赤经高弧交角日距天顶之法,则黄经高弧交角及月距天顶之度可得矣。
设星、月黄道经度同为申宫二十六度二十二分十一秒,月距正交前四十三度四十八分五十六秒,黄白交角五度四分一十秒,黄平象限七宫十三度三十七分十七秒,限距地高六十五度三十五分三十六秒,求太阴实纬黄经高弧交角月距天顶。如图甲为天顶,甲乙丙丁为子午圈,丙丁为地平,乙为北极,戊己庚为赤道,戊为午正,己为酉正,庚为子正,卯为黄极,辛壬癸子为黄道,壬为春分,癸为夏至,午为黄道交地平之点。午未弧为九十度,其未点即黄平象限,宫度为七宫十三度三十七分十七秒。未辰弧当午角为六十五度三十五分三十六秒,即限距地高度,而与甲卯黄极距天顶之度等。
巳寅丑为白道,寅为正交,寅角为黄白交角五度四分一十秒,申为太阴当黄道于酉,申寅为月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒,申酉为月距黄道纬度,其酉点为星月所当之黄道经度五宫二十六度二十二分十一秒,与未点黄平象限宫度相减,得未酉弧四十七度十五分六秒,为月距黄平象限西之度。乃当未卯酉角,甲申戌为高弧,卯申甲角为黄经高弧交角,甲申为月距天顶。求法,先用寅酉申正弧三角形,此形酉为直角,有寅角黄白交角,有寅申弧月距正交前白道度,求得申酉弧三度三十分二十七秒,即太阴距黄道南实纬度。与卯酉象限相加,得卯申弧九十三度三十分二十七秒,为月距黄极。次用甲卯申斜弧三角形,此形有甲卯边黄极距天顶,有申卯边月距黄极,有申卯甲角当酉未弧月距限度为所夹之角,求申角及甲申边。乃自天顶作甲亥垂弧,分为甲亥卯、甲亥申两正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形,此形亥为直角,有卯角,有甲卯边,求得卯亥弧五十六度十四分十五秒,为距极分边。与申卯弧月距黄极相减,得申亥弧三十七度十六分十二秒,为距月分边。次用甲亥申正弧三角形,此形亥为直角,有申亥边,兼甲亥卯正弧三角形之亥卯边及卯角。用合率比例法,求得申角五十六度二分五十一秒,即黄经高弧交角。仍以甲卯申斜弧形,用对边对角法,求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒,即月距天顶之度也。
图形尚无资料
求太阴距星及凌犯视时
太阴距地平上之高弧,自地心立算者为实高,在地面所见者为视高,其相差之分,即地半径差也。月当地平时,距天顶为九十度,其相差之数最大,而角之正弦即当地之半径。迨月上升,则距地渐高,距地愈高,则差数愈小,其所差之分,皆与本时月距天顶之正弦相应,故用比例法而得本时高下差也。夫高下既差,则有视经、视纬之别。其视经、实经之差者,东西差也;视纬、实纬之差者,南北差也。今求三差,乃依后编日食求三差法用直线三角形算之。然后编三差图乃写浑于平,今则用以浑测浑之图,求其三差,其所得之南北差,与本时太阴实纬之度相较,而得视纬。得以视纬与星纬相较,观其纬之南北而定相距之上下也。其所得之东西差,与一小时之太阴实行为比例,而得用时距视时之距分。辨其月距限之东西加减凌犯用时,而得凌犯之视时也。
前求得道光十二年壬辰三月初六日癸丑,月距司怪第四星凌犯用时戌正二刻八分十九秒,黄经高弧交角五十六度二分五十一秒,月距天顶五十三度四十三分二十四秒,本日太阴最大地半径差六十分七秒,太阴黄道实纬度南三度三十分二十七秒,司怪第四星黄道纬度南三度十一分四十四秒,一小时太阴实行三十六分三十三秒,求星月相距分秒凌犯视时。如图甲为天顶,甲未辰巳为黄道经圈,辰午巳为地平,卯为黄极,未午辛为黄道,未点即黄平象限宫度,未辰弧即限距地高,与卯甲黄极距天顶之度等。申点为太阴,子点为司怪第四星,同当黄道于酉。其酉点即月与星之黄道经度,酉未弧即月距限西之度,子酉为星距黄道南纬度三度十一分四十四秒,申酉为太阴距黄道南实纬度三度三十分二十七秒,申卯弧即月距黄极,甲申戌为高弧,申甲为月距天顶度五十三度四十三分二十四秒,卯申甲角为黄经高弧交角五十六度二分五十一秒,而与戌申亥角为对角,其度等。此皆自地心立算之实度也。然人居地面高于地心,故视高常低于实高,而月当地平时,其地半径差为最大,今乃六十分七秒。于是依后编求本时高下差之法,以半径与甲申弧正弦之比同于最大地半径差与本时高下差之比,得本时高下差四十八分二十八秒。如申火之分,其火点即太阴之视高,自火点与黄道平行,作火木线,遂成申木火直角三角形。因弧度甚小,乃作直线算,与后编求日食三差之理同。此形木为直角,有申角黄经高弧交角,有申火边本时高下差,求得木火边四十分十二秒为东西差,求得申木边二十七分四秒为南北差,加于申酉太阴实纬,得木酉太阴视纬三度五十七分三十一秒。内减子酉星纬,得子木弧四十五分四十七秒,为人目仰视太阴距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同当酉点之经度,固为相距。今太阴视高在火,其视纬虽差至木,而距星之子点尚在一度内,其火点当黄道之视经度则差至土,是用时时星经度虽在酉,而太阴视经度之土点乃在其西,是为未及。然土酉之分与火木等,故以一小时太阴实行与火木东西差为比例,得距分一时六分,为月行火木之时分。加于月视高临火点之用时,得亥初二刻十四分十九秒,即人目视太阴临于木点与星,同当酉点经度之视时也。
图形尚无资料
求视时月距限
视时月距限,必大于用时月距限,因其视经差所当之距分既有加减,则太阴与星随天西移自有进退也。盖太阴以地半径差由高而变下,则视经之差于实经、视纬之差于实纬必矣。兹据黄平象限在天顶南之地面而言之,视纬恒差而南,如实纬北者,视纬常小于实纬,其差为减;实纬南者,视纬常大于实纬,其差为加。故纬南之星、月实距虽在一度内,而视距转在一度外者有之;纬北之星、月实距虽在一度外,而视距转在一度内者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限,故不取用。至若视经之差,所当月行距分之最大者或至二小时,而二小时之际,诸曜随天左旋,几至一宫,故视经之差,关于月行之进退矣。如月在黄平象限西者,视经度差之而西,视时必迟于用时;月在黄平象限东者,视经度差之而东,视时必早于用时。以致用时星、月未入地平,而视时星、月已入地平者有之,或用时星、月已出地平,而视时星、月未出地平者有之。是故于求用时之后,即以月距黄平象限与地平限度相较,可知斯时月在地平之上下。月距限小于地平限度者,为月在地平上;大于地平限度者,为月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者,用时星、月必在地平上,视时星、月或在地平下,其所差者,即视经之差当月行距分之诸曜左旋度。今取最小实经、视经之差所当左旋之度为视经差,法见下卷求地平限度节下。减于地平限度,所得视地平限度,而与月距限度考之。
如月距限小于地平限度而大于视地平限度者,则为用时月虽在地平上,视时月必在地平下矣;既知月必在地平下,故遇此者去之。如月距限小于视地平限度者,则为视时月在地平之上。夫犹有不然者,以视经差所取皆最小之数也。若知月行实迹非由视时,再推月距限度,则其时月果在地平之上下,未可得其确准。故今于既得视时之后,必详察太阴实纬及用时月距限度。如实纬南月距限过六十度,或实纬北月距限过七十度者,用时月距限在此限度内者,视时月必在地平之上。皆以视时复求月距黄平象限之度。如其度大于地平限度者,乃视时月在地平之下,仍不取用。必其度小于地平限度,始为视时月必在地平之上,而可证诸实测。此视差之所以必逐细详推,然后可得而取用也。
第95章