这篇文章里有些错误，我们却避免了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他把数学归纳法引伸了。他名之为“超限归纳法”。我对他说，这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期，他对我说，他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门，从数学的观点，不从哲学的观点，把《数学原理》我认为重要的几方面解释一下。
我先从一个问题着手，这是一个哲学上的问题，也同样是一个数学上的问题，就是，关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里，我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性，和这些相对立的是由本体——和——属性而成的事实和由主辞——和——宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样，布尔的数理逻辑是讨论类的包含的，而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑，但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系，我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西，这种东西结果变得极为有用。
在那个时候，我几乎是只把关系认做是内包。我想到了这样一些句子：“ｘ在ｙ之前”、“ｘ大于ｙ”、“ｘ在ｙ之北”。那时我觉得（我现在确是仍然觉得），虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶，可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然，类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类，其中的项我们无法列举的时候，上面所讲的道理是显而易见的。就无限的类来说，无法列举是很明显的，可是大多数有限的类也正是如此。举例来说，谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢？虽然如此，我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来（或真或伪），我们之所以能够如此，乃是由于使这个类所以能够成立的内包。以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序，我们有很多事情可说，因为我们懂得“在先”这个字的意思，虽然ｘ在ｙ之先这样的ｘ，ｙ一切的偶我们是无法列举的。但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论：这些偶必须是有序的偶，那就是说，我们必须能够分别ｘ，ｙ这个偶和ｙ，ｘ这个偶。若是不藉内包上的某种关系，这是做不到的。只要我们只限于类和宾辞，就不可能解释次序，或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。
所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示，这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显着的。这些概念中最重要的是：（１）由一些项而成的类，这些项对于一个既定的ｙ项有Ｒ关系；（２）由一些项而成的类，对于这些项一个既定的ｘ项有Ｒ关系；（３）关系的“范围”，这个范围是由一个类而成，这个类中所有的项对于某种什么东西有Ｒ关系；（４）Ｒ的“相反范围”，这个范围是由一个类而成，某种什么东西对于这个类中所有的项有Ｒ关系；（５）Ｒ的“领域”，这个领域是由上面所说的那种“范围”和“相反范围”而成；（６）一种Ｒ关系的“反面”，这是ｘ和ｙ之间有Ｒ关系的时候，ｙ和ｘ之间所具的一种关系；（７）Ｒ和Ｓ两种关系的“关系产物”，这是有一个ｙ中项的时候，ｘ和ｚ之间的一种关系，ｘ对于ｙ有Ｒ关系，ｙ对于ｚ有Ｓ关系；（８）复数，界说如下：有既定的某ａ类，我们形成一个由若干项而成的类，所有这些项对于ａ的某项有Ｒ关系。我们可以看一看人与人的关系来作以上各种概念的例子。举例来说，假定Ｒ是父母与子女的关系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；
（３）是所有那些有子女的人的类；（４）是所有那些有父母的人的类，那就是说，除了亚当和夏娃以外，每人都包括在内；
（５）“父母”关系的领域包括每个人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）“的父母”这种关系的反面是“的子女”那么一种关系；（７）“祖父母”是父母与父母的关系产物，“弟兄或ae?妹”是“子女”与“父母”的关系产物，“堂兄弟或弟兄或ae?妹”是孙和祖父母的关系产物，余可以类推；
（８）“伊通学院学生的父母”是按这一个意义来说的复数。